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OPTIMIZACIÓN

Introducción

Para comenzar leamos la siguiente nota del profesor Bruno Philippi: "La optimización proporciona un esquema conceptual que facilita el difícil proceso de estructuración, análisis y síntesis, inherente a todo problema de decisión; contribuyendo, así, al diseño de mejores soluciones para problemas de carácter tanto técnico, como económico y social."

Podemos decir que optimizar es sinónimo de buscar lo mejor, también de alcanzar la ganancia máxima o tener la pérdida mínima.

Es por esto que el hombre siempre ha querido la optimización dentro de sus actividades, sean éstas empresariales, científicas o políticas, formalizando y cuantificando, mediante procedimientos matemáticos, la forma de alcanzar lo mejor en una circunstancia o problema bien definido.

Este trabajo pretende de cierta forma dar una idea del esquema conceptual que ofrece la optimización como herramienta efectiva para estructurar, analizar y sintetizar una gran variedad de problemas de decisión.

 

 

Glosario.

 

Modelo económico: Consiste en una ecuación que incluye las utilidades obtenidas con la venta del producto y los costos asociados al proceso productivo, o sea, materia prima, costos de operación, costos de administración, gastos generales, etc.

Programación: Consiste en los pasos que se requerirán para optimizar un sistema.

Formulación matemática: Es la técnica con la cual se lleva el proceso de optimización a formulas matemáticas.

 

 

Formulación de problemas de optimización.

Cuando se ha decidido o hecho indispensable aplicar la optimización en un proceso industrial se han de requerir tres componentes básicas para la formulación del problema en términos matemáticos:

  1. El modelo matemático que rige el problema, además de una definición de las variables del proceso que pueden ser manipuladas o controladas.
  2. Un modelo económico para el proceso. Esto quiere decir una ecuación que incluye las utilidades obtenidas con la venta del producto y los costos asociados al proceso productivo, o sea, materia prima, costos de operación, costos de administración, gastos generales, etc.
  3. Un procedimiento de optimización para la manipulación de las variables independientes del proceso, que maximice las utilidades o minimice los costos determinados por el modelo económico, restringido por el modelo del proceso.

En el siguiente diagrama simplificado de optimización y control en la industria, se desea mostrar la relación de las actividades del proceso controlado y los niveles de optimización.

 

Debido a la complejidad de las grandes empresas, los modelos del proceso se deben simplificar, usando ecuaciones de simulación para mantener los costos de programación y el uso del computador dentro de los límites razonables. Sin embargo, dentro de cada proceso en particular es posible crear modelos más detallados para especificar condiciones de operación óptimas, es decir, temperaturas, precisiones, mano de obra, energía, etc., para asegurar una operación óptima en la unidad.

Existen diferentes técnicas de optimización, las cuales tienen dos divisiones muy claras:

Una es la programación matemática cuyo objetivo es ubicar el mejor punto x(x1,....., xn) que optimice el modelo económico.

La otra, muestra los métodos variacionales, cuyo objetivo es ubicar la mejor función y(x) que optimice el modelo económico del proceso.

Optimización.

Programación matemática Métodos variacionales

Objetivo: encontrar el mejor punto Objetivo: encontrar la mejor

que optimice el modelo económico. función que optimice el modelo.

Ejemplo: condiciones óptimas de Ejemplo: mejor perfil de temperatura operación de un reactor químico. que maximiza la conversión en un reactor

tubular.

Formulación matemática Formulación matemática

Optimizar y(x), x = (x1,....., xn) Optimizar J[y(x)] = ò F[y(x)], y'(x)]dx

sujeta a: fj(x) <= 0 sujeta a: restricciones algebraicas,

j = 1, 2, ...,m integrales o diferenciales.

Métodos Métodos

Analíticos

Programación geométrica Cálculo de variaciones

Programación lineal Programación dinámica (continua)

Programación dinámica (discreta) Principio del máximo (continuo)

Programación no lineal

Técnicas de búsqueda

Principio del máximo (discreto)

Programación cuadrática

Programación separable

Programación convexa

Programación entera

Programación combinacional

Programación heurística

Al resolver un problema de optimización, la estructura y complejidad de las ecuaciones son importantes, ya que la mayor parte de los procedimientos de programación matemática pueden hacer uso de la forma especial de los modelos económicos y del proceso (ecuaciones de restricción). Por ejemplo: Programación lineal (donde todas las ecuaciones son lineales) y la programación geométrica (todas las ecuaciones son polinomios).

La siguiente figura nos muestra un método para enfrentar los problemas de optimización, incorporando los conocimientos especiales de cada técnica de optimización.

Programación matemática

Punto

Función o punto óptimo

Función

Métodos variacionales

Hay restricciones en el problema

Sí

No

Es posible usar multiplicadores de Lagrange

No

Sí

Forme función de Lagrange

Derive y resuelva ecuaciones diferenciales

Funciones objetivo y restricciones lineales

No

Sí

Resuelva usando programación lineal

Funciones objetivo y restricciones polinomio

No

Sí

Resuelva usando programación geométrica

Es posible formular en el problema etapas

No

Sí

Resuelva usando programación dinámica

Resuelva usando técnicas de búsqueda

 

¿La respuesta es satisfactoria?

Sí

Pare

No

Regresa a la partida

Teoría clásica del máximo y del mínimo.

Esta teoría estudia los métodos para encontrar los puntos extremos de una función. En particular se desea determinar el valor de las n variables independientes x1,....., xn de una función en un punto extremo.

Es necesario tener en cuenta algunas condiciones necesarias y suficientes para determinar puntos extremos, un teorema fácil de comprender es el de Weierstrass, el cual garantiza la existencia de puntos extremos, y dice:

"Toda función continua en un dominio cerrado posee un valor máximo y uno mínimo,ya sea en el interior o en el contorno del dominio"

Este teorema nos dice que no se requiere que la función tenga derivadas continuas para que exista un máximo o un mínimo.

No es necesario que todos los puntos estacionarios sean máximos o mínimos locales, ya que puede haber puntos de inflexión o puntos de montura.

Una vez localizados los máximos y mínimos locales, es necesario comparar individualmente cada punto para determinar los valores máximos y mínimos absolutos.

Para establecer si un punto estacionario es un máximo o un mínimo local, se resolverá un desarrollo en series de Taylor alrededor del punto estacionario.

X0 : f(x) = f(x0) + f '(x0)(x- x0) + 1/2 f'' (x0)(x- x0)2 + ....

En donde: f '(x) = dy/dx con x = x0

La ecuación se puede simplificar a:

f(x) = f(x0) + 1/2 f'' (x0)(x- x0)2

Para saber si x0 es un máximo o un mínimo local, examinando el valor de la segunda derivada, debido a que (x- x0)2 es siempre positivo, resultando:

Si f ´´( x0) > 0 entonces f(x0) es mínimo.

Si f ´´( x0) < 0 entonces f(x0) es máximo.

Si f ´´( x0) = 0 entonces no hay información.

Para este último caso, será necesario examinar las derivadas de orden superior, entonces en general: f '(x0) = f ''(x0) = ...= f n-1(x0) = 0

Y f n (x0) ¹ 0 , por lo tanto el desarrollo en series de Taylor queda:

f(x) = f(x0) + 1/n! f n (x0)(x - x0)n

Cuando n es par, (x - x0)n es siempre positivo y el resultado es:

Si f n (x0) > 0 , f(x0) es mínimo.

Si f n (x0) < 0 , f(x0) es máximo.

Si n es impar, (x - x0)n es negativa al variar x desde x< x0 hacia x> x0 resultando un punto de inflexión.

Programación lineal.

Este término no se refiere a la programación computacional, sino a algún procedimiento a seguir en un plan.

Desde el punto de vista de la programación matemática, el problema de programación lineal puede formularse como:

max { c1x1 + .....+ cnxn }

sujeto a :

a11x1 + .... + a1nxn <= b1

......................................

am1x1 + .... + amnxn <= bm

x1 >= 0 , ....... , xn >= 0

O bien, en notación vectorial:

Max cx

Sujeto a : Ax <= b

x >= 0

en que:

XT = (x1,....., xn) c = (c1... cn)

A= a11............. a1n bT = (b1..... bm)

......................

am1............. amn

Con ci , bj , aij Î R (i = 1.....n , j = 1......m)

X = { x/ Ax <= b , x >= 0}

Estructura de un problema de programación lineal.

Primero haremos una consideración de carácter general, válida tanto para modelos no lineales como lineales:

Naturaleza de los parámetros empleados en la construcción de los modelos. Los datos que caracterizan el problema, como son en un modelo de programación lineal los valores asignados a los parámetros aij , bi y cj , derivan de observaciones reales y como tales están sujetos, en general, a un cierto grado de incertidumbre.
Linealidad del modelo. La naturalidad con que formulamos nuestro problema, en términos de un programa lineal, se debe en buena medida, a la presencia de los dos ingredientes básicos de la linealidad: proporcionalidad y superposición.
  1. Proporcionalidad: es apreciada en dos aspectos. Al decir que si se requieren aij horas de maquinaria i para producir una unidad de producto j, se requerirán aijxj horas para producir xj unidades de producto j, y al establecer que si el beneficio asociado con la producción de una unidad de j es cj , el beneficio de xj unidades es cj xj . Sin embargo, aunque esta afirmación parece ser bastante razonable, hay dos observaciones que ilustrarán sus limitaciones:
  1. Problemas de la inversión inicial: como casi siempre la producción de un determinado producto requiere de una inversión inicial, con lo cual, si ci es el beneficio unitario y xi el número de unidades producidas, el beneficio correspondiente a este nivel de producción será :

    2. 0 si xi = 0

    ci (xi) =

    -K + ci xi si xi > 0

     

    en que K(k>0) es el costo de la inversión. Si k=0, tenemos ci (xi) = ci xi como en el problema de programación lineal, pero si k>0, la proporcionalidad ya no es válida. El ci (xi) así definido tiene una discontinuidad en el origen.

  2. Rendimientos de escala: en algunos casos el costo (o utilidad) puede estar asociado con el nivel de producción de un determinado producto y por lo tanto, al no existir la proporcionalidad, no es posible formular el modelo directamente en términos de una programación lineal.
  1. Superposición: o aditividad, se refiere al hecho de que la suma de los recursos empleados por cada actividad es igual al uso total del recurso. O sea, el número total de horas de uso de la máquina i corresponde a la suma de las horas empleadas por cada producto en esta misma máquina durante su proceso de fabricación. La aditividad implica que no se gana ni se pierde nada por la fabricación simultánea de varios productos.

Existe un método computacional que no depende de la dimensión del problema para su funcionamiento. Este método recibe el nombre de método simplex.

Método simplex.

Con él se puede resolver un problema de programación lineal de cualquier dimensión.

Es un algoritmo que salta de un vértice, formado por la intersección de las ecuaciones de restricción, a otro, de manera que siempre aumente el valor de la función objetivo.

El procedimiento a seguir en la solución de un problema de programación lineal es:

  1. Formule el problema en un formato adecuado para la programación lineal, usando ecuaciones de restricción lineales y función objetivo lineal.
  2. Introduzca las variables de holgura necesarias manteniendo siempre positivo el lado derecho de todas las ecuaciones.
  3. Escoja una base inicial posible. Si todas las ecuaciones de restricción son desigualdades del tipo menor que, se pueden usar las variables de holgura.
  4. Manipule algebraicamente las ecuaciones de manera que la función objetivo quede expresada en función de las variables no básicas. Esto determina el valor de la función objetivo para las variables en la base.
  5. Examine la función objetivo y escoja la variable que tenga el mayor coeficiente positivo para introducirla en la base (en el caso de maximización). Si no hay coeficientes positivos, quiere decir que se ha alcanzado el óptimo.
  6. Examine las ecuaciones de restricción y escoja una para eliminar la variable que será introducida en la base. El criterio a usar es que ninguno de los términos del lado derecho se haga negativo. Esto es necesario para asegurar que todas las variables de la nueva base sean positivas.
  7. Realice la misma eliminación en la función objetivo para sacar la nueva variable perteneciente a la base. La función objetivo debe tener solamente variables que no están en la base. Esto determina el nuevo valor de la base.
  8. Repita los pasos 5, 6 y7 hasta que todos los coeficientes en la función objetivo a maximizar sean negativos.

Optimización en Chile

 

El GRUPO DE SISTEMAS EN AGRICULTURA está conformado por un grupo de docentes, investigadores y personal de extensión del Departamento de Zootecnia de la Facultad de Agronomía e Ingeniería Forestal de la Pontificia Universidad Católica de Chile.

Las áreas de investigación que se cubren están vinculadas a la optimización de sistemas de producción animal (aves, cerdos, bovinos, ovinos, peces, y otras especies pecuarias), a la evaluación y desarrollo de procesos tendientes a disminuir el impacto ambiental negativo, a la gestión empresarial agropecuaria y agroindustrial y al desarrollo de procesos y productos agropecuarios y agroindustriales.

También existen una serie de proyectos para pesca y acuicultura los cuales ya fueron aprobados, uno de estos es el mostrado a continuación:

TÍTULO : Optimización del cultivo de salmonídeos en Chile y disminución de su impacto ambiental.

DIRECTOR : Juan Carlos Uribe B.

INSTITUCIÓN RESPONSABLE : Universidad de Los Lagos

INSTITUCIONES PARTICIPANTES:

*Empresa Pesquera Isla Grande

*Soc. Alimentos marítimos Avalon Ltda.

*Piscicultora del Río Bueno S.A.

OBJETIVOS GENERALES

Optimizar el cultivo de salmonídeos en Chile:

1.- Optimizar los ciclos de cultivo de salmón coho mediante un aprovechamiento integral de nuestras óptimas condiciones ambientales.

2.- Optimizar la utilización de agua de los lagos.

3.- Disminuir la contaminación ambiental que provoca la actividad.

RESEÑA DEL PROYECTO

Se pretende optimizar el uso de las condiciones ambientales favorables de nuestras aguas dulces en la producción de smolt (estado de desarrollo en que el individuo migra desde los ríos de origen al mar), para hacer posible un manejo completo de la época y talla de esmoltificación. Ello se realizará por un riguroso manejo de la temperatura de cultivo, aprovechando la estratificación de la temperatura que existe en lagos de la zona sur austral de Chile. Se diseñará un sistema de succión que permita bombear agua del lago a diferentes profundidades, a estanques de cultivo de peces en tierra. Se propone la obtención controlada de smolt de salmón coho, desde octubre hasta marzo.

Paralelamente, se pretende evaluar la factibilidad del cultivo de smolt, utilizando aguas provenientes de napas subterráneas, de manera de incorporar un nuevo tipo de cuerpo de agua dulce al cultivo de peces, alternativo a lagos y esteros del sur de Chile.

PRINCIPALES IMPACTOS

Económico-sociales: Aumentar la producción nacional de salmones y truchas por la vía de mejorar el aprovechamiento de la capacidad instalada desde un 70% actual hasta un 100% con proyecto. Ampliar el número de cuerpos de agua dulce aptos para el cultivo de salmonídeos.

Científico-tecnológicos: Generación de nuevas tecnologías en cultivo de smolt y disminución de la contaminación. Desarrollo de investigación científica en fisiología de peces.

Institucionales: Refuerzo de la principal área de desarrollo institucional de la Universidad de Los Lagos. Mejoramiento de la capacidad de investigación y desarrollo. Mejoramiento de la vinculación de la Universidad con el sector productivo y con instituciones extranjeras de excelencia.

Ambientales: Evaluación de una forma de cultivo en agua dulce (con agua de napas subterráneas) que no utiliza los lagos y evita la contaminación. Los afluentes se utilizarían para riego de cultivos agrícolas, donde los nutrientes son aprovechados como fertilizante.

Bibliografía.
Bruno Philippi. " Introducción a la optimización de sistemas." Ediciones Universidad Católica de Chile, 1988.
Ralph Pike - Lautaro Guerra. "Optimización en Ingeniería." Ediciones Alfaomega, 1989.
Fonpi21@sas.puc.cl

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